TABLA DE VALORES DE VERDAD

Bienvenidos a mi blog en esta entrada aquí entenderás un concepto sobre la tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.¹​

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:

• Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
• Como construcción de un sistema matemático puro
• Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

Verdadero

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

Falso

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.

Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

Negación

La negación operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Conjunción

La conjunción es un operador, que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera cuando ambas son verdaderas.

En términos mas simples, será verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

en simbología "^" hace referencia a el conector "y"

Disyunción

La disyunción es un operador lógico que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

En términos mas simples, será verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera de lo contrario será falsa.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

Equivalencia, doble implicación o Bicondicional

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona dando el valor de verdad cuando ambos valores son iguales y dando el valor de falsedad cuando ambos valores son diferentes.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.

EN EL SIGUIENTE VÍDEO PODRÁN VER DE UNA FORMA SIMPLE Y SENCILLA LA TABLA DE VERDAD 

FORMULAS LOGICAS EQUIVALENTES 

Definición:

Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.

Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.

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Leyes Lógicas

• Asociativas
• Distributivas
• Leyes de De Morgan
• De idempotencia
• De identidad
• De dominación
• Inversas
• De absorción

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Reglas de Sustitución

• Sea P una tautología y q una variable de P. Si sustituimos cada aparición de q por cualquier otra proposición Q entonces la proposición resultante es también una tautología.
• Sea P una tautología y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos Q por una proposición lógicamente a Q obtendremos una nueva proposición lógicamente equivalente a P.
• Cualquier proposición es lógicamente equivalente a otra que contiene sólamente los conectivos lógicos -, v,and.

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Reglas de Inferencia

Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lógicamente Q , y escribiremos P \Rightarrow Q si P rightarrow Q es una tautología.

Si P es falso, entonces la proposición P, Q es verdadera independientemente del valor de Q. Por tanto, P si los valores de las variables que hacen a P verdadero también hacen verdadero a Q. De manera equivalente P Q significa que P y Q no tienen nunca de manera simultánea los valores de verdad 1 y 0 respectivamente.

Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o falso, que representaremos respectivamente con los números 1 y 0. Por tanto, cuando digamos que una proposición toma valor 1 estaremos diciendo que es verdadera.

El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por los valores de las proposiciones simples que la forman. Las tablas de verdad nos indican los valores de verdad de una proposición para cada posible combinación de los valores de las proposiciones simples.

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Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción

A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.

Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.

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Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción

Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.

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Ejemplo: Las dos fórmulas siguientes son equivalentes:

(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)          ¬p ∨ ¬q ∨ r

p	q	r	¬q	¬p	p → ¬q	¬p ∨ r	(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)	¬ p ∨ ¬q	¬p ∨ ¬q ∨ r
V	V	V	F	F	F	V	V	F	V
V	V	F	F	F	F	F	F	F	F
V	F	V	V	F	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	V	F	V	V	V
F	V	V	F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V	V	V

donde se puede observar que la última y la antepenúltima columnas son iguales.

Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma.

AQUÍ PODRÁN VER UN  VÍDEO EXPLICÁNDOLO MAS DETALLADAMENTE 

LEYES LÓGICAS PRINCIPALES

DE IDENTIDAD: 

“Una proposición sólo es idéntica consigo misma”.

DE CONTRADICCIÓN:

“Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez”. 

DEL TERCIO EXCLUÍDO:

“Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera opción”.

DE LA DOBLE NEGACIÒN O INVOLUCIÓN:

“La negación de la negación es una afirmación”.

DE LA IDEMPOTENCIA:

“Las variables repetidas redundantemente en una cadena de conjunciones o en una cadena de
disyunciones se reemplazan por la sola variable”.

DE LA CONMUTATIVIDAD:

“En una proposición, la conjunción, la disyunción inclusiva y la bicondicional son conmutativas”.

DE LA ASOCIATIVIDAD:

“En una proposición, la doble conjunción, la doble disyunción, o la doble bicondicional se asocian
indistintamente”.

DE LA DISTRIBUTIVIDAD:

“En una proposición la conjunción, la disyunción y la implicación son distributivas”.

DE MORGAN:

“En una proposición, la negación de una conjunción o de una disyunción son distributivas
respecto a la disyunción o conjunción.

DEL CONDICIONAL:

“En una proposición, la condicional equivale a la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente, y la negación de una condicional equivale a una conjunción del antecedente con la
negación del consecuente”.

DEL BICONDICIONAL:

DE LA ABSORCIÓN:

DE TRANSPOSICIÓN:

DE EXPORTACIÓN:

MODUS PONENS:

“En una premisa condicional; si se afirma el antecedente, entonces se concluye en la afirmación
del consecuente”.

MODUS TOLLENS:

“En una proposición, si se niega el consecuente de una premisa condicional entonces se concluye
en la negación del antecedente”. 

DEL SILOGISMO DISYUNTIVO:

“En una proposición, cuando se niega el antecedente de la premisa de una disyunción, se concluye en la afirmación del consecuente”.

DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE:

“En una proposición, cuando se afirma que uno de los miembros de una bicondicional es verdadera,
entonces el otro miembro también es verdadero”.

DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO:

“En una proposición, el condicional es transitivo”.

DE LA TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA:

“En una proposición, el bicondicional es transitivo”.

DE LA SIMPLIFICACIÓN:

“En una proposición, si el antecedente y consecuente de una conjunción son verdades, entonces
cualquiera de los dos términos es verdad”.

DE ADICIÓN:

“En una proposición, una disyunción está implicada por cualquiera de sus dos miembros.

SIMPLIFICACIÓN DE FORMULAS PROPOSICIONALES

VÍDEO EXPLICATIVO 

CIRCUITOS LÓGICOS

¿QUE ES UN CIRCUITO LÓGICO?

Los circuitos lógicos por lo general  sirven únicamente como una ayuda auxiliar necesaria para lograr un mejor entendimiento de los caracteres simbólicos no gráficos.

Este tipo de representaciones gráficas son usados en informática y son llamados 
generalmente como circuitos digitales, este nombre radica del concepto de dígito, 
en especial con dos dígitos, esto son, los valores de “0” y “1”. Estos dos únicos 
valores se les conoce como forma binaria y significan:

• “0” voltaje bajo “low“, que significa falso .

• “1” voltaje alto “high“, que significa verdadero 

Los valores de únicos 0 y 1 son los únicos dígitos binarios conocidos como bit, un bit 

es como una moneda con una cara y una cruz, verdadero o falso, arriba o abajo, etc.

Pero para nuestro caso, su representación gráfica de los valores de verdad de una 
proposición , sería:

LOGICA DE BITS(not,and,or,xor)

Puerta AND

 articulo principal: Puerta AND

Puerta AND con transistores

 

La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND (${\displaystyle \scriptstyle AND\equiv Y\equiv \land }$), realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:

${\displaystyle F=(A)*(B)\,}$

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta AND

Entrada ${\displaystyle A}$	Entrada ${\displaystyle B}$	Salida ${\displaystyle A\land B}$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Así, desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la compuerta AND implementa el producto módulo 2.

Puerta OR

Artículo principal: Puerta OR

Puerta OR con transistores

 La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR (${\displaystyle \scriptstyle OR\equiv O\equiv \lor }$), realiza la operación de suma lógica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:

${\displaystyle F=A+B\,}$

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta OR

Entrada ${\displaystyle A}$	Entrada ${\displaystyle B}$	Salida ${\displaystyle A\lor B}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Podemos definir la puerta OR como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si al menos una de sus entradas está a 1.

Puerta OR-exclusiva (XOR)

Artículo principal: Puerta XOR

 La puerta lógica OR-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A'B+AB'. Su símbolo es ${\displaystyle \oplus }$ (signo más "+" inscrito en un círculo). En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es:

${\displaystyle F=A\oplus B\,}$

${\displaystyle F={\overline {A}}B+A{\overline {B}}\,}$

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta XOR

Entrada ${\displaystyle A}$	Entrada ${\displaystyle B}$	Salida ${\displaystyle A\oplus B}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). Se obtiene cuando ambas entradas tienen distinto valor.

Si la puerta tuviese tres o más entradas, la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa, para tres entradas escribiríamos: a${\displaystyle \oplus }$(b${\displaystyle \oplus }$c) o bien (a${\displaystyle \oplus }$b)${\displaystyle \oplus }$c. Su tabla de verdad sería:

XOR de tres entradas

Entrada ${\displaystyle A}$	Entrada ${\displaystyle B}$	Entrada ${\displaystyle C}$	Salida ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la puerta XOR implementa la suma módulo 2, pero mucho más simple de ver, la salida tendrá un 1 siempre que el número de entradas a 1 sea impar.

Lógica negada

Puerta NO (NOT)

Artículo principal: Puerta NOT

 La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión o negación de una variable lógica. Una variable lógica (A) a la cual se le aplica la negación se pronuncia como "no A" o "A negada".

Puerta NOT con transistores

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es:

${\displaystyle F={\overline {A}}\,}$

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta NOT

Entrada ${\displaystyle A}$	Salida ${\displaystyle {\overline {A}}}$
0	1
1	0

Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en su entrada.

COMPUERTAS LOGICAS Y ALGEBRA DE BOOLE

El álgebra booleana es usada para expresar la relación entre entradas y salidas de circuitos lógicos. Las constantes y variables solo pueden tener dos valores posibles: 0 y 1.

En ciertos sistemas digitales,

0 booleano = cualquier voltaje entre 0 y 0.8 volts.

1 booleano = cualquier voltaje entre 2 y 5 volts.

0 y 1 booleano no representan números, si no el estado de una variable de voltaje. Llamado nivel lógico

Otras términos usados sinónimos de 0 y 1.

CONSTANTE Y VARIABLE.- 

En álgebra booleana no hay fracciones, decimales,números negativos, raíz cuadrada, raíz cúbica,logaritmos, números imaginarios…

Solo tres operaciones básicas (operaciones lógicas):OR, AND y NOT.

Los circuitos digitales que realizan operaciones lógicas son llamados circuitos lógicos.

PUERTA OR 

La operación OR produce un resultado (salida) de 1 cuando cualquier entrada sea 1. Si no, la salida es 0.

La expresión booleana es:

PUERTA AND

La salida es 1 lógico solo si todas las entradas son 1.

Caso contrario la salida es 0.

La expresión booleana es:

PUERTA NOT 

operación NOT se realiza con una sola variable.

Su salida es presentada como:

MAPAS KARNAUGH

El mapa de Karnaugh es una herramienta muy útil para la simplificación y minimización de expresiones algebraicas Booleanas. Es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor.

Es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas para una tabla de verdad, es decir, si un mapa tiene 3 variables, (2) elevado a la 3 = 8.

Las celdas del mapa K se marcan de modo que las celdas horizontalmente y verticalmente adyacentes, solo difieran en una variable.

Vamos a definir algunos términos que nos son de mucha utilidad al momento de analizar los mapas K:

Implicante: Un grupo de unos ó ceros adyacentes que implican a una variable en cuestión, agrupados en potencias de a dos.

Adyacencia: Característica de un mapa K en el que sólo se cambia una variable de una celda a otra inmediata a ella por cualquiera de sus cuatro lados

Mapa de Karnaugh de dos variables

El mapa de Karnaugh de dos variables es un conjunto de cuatro celdas.

La siguiente figura nos muestra la tabla de verdad y el mapa K para una función escogida arbitrariamente de dos variables.

La función definida por la tabla en minterms es:

GRAFOS DIRIGIDOS Un grafo dirigido es aquel en el que todas sus aristas tienen sentido o dirección. La relación sobre V no es simétrica. Las aristas se representan como un par ordenado (u,v).  En este ejemplo V = {a, b, c, e} E = {(a, b), (a, c), (a, e), (b,e), (c, e) }